从平均分开始，认识分数的意义、性质与运算，再从分数走向有理数，理解数的扩展。
把数学拆开看，把知识连起来学。一个概念，不只讲清「是什么」，还要讲清它从哪里来、为什么成立、可以用到哪里。小学先认识正分数，到了初中，再把分数扩展到负数，进入有理数的范围。
每个概念都沿着九个维度展开，根据知识特点灵活组织 —— 点任意一层直接进入对应内容
这一站的主线：五个核心问题 —— 九个维度就是在逐个回答它们（按问题探索）
这一层的核心问题：为什么需要分数？整数可以表示完整的一个、两个、三个……可是生活里，整数常常不够准确。
一块蛋糕，两个人平均分，每人分到多少？
每人得到半块。整数 1 表示一整块，无法准确表示半块——整数表示不了「一个整体的一部分」。
再看一个：3 块饼平均分给 4 个人，每人得到 34 块。注意：3 ÷ 4 ＝ 34 是精确的结果，不是「除不尽、算不出来」——只是整数写不出它。
而且分数不只表示「不到 1 的量」：5 块饼平均分给 2 个人，每人 52 块；一条绳子的 54，也超过一个整体。分数可以小于 1，也可以等于或大于 1。
两个递进的实验。实验 A：在一个整体里分一分；实验 B：取过一个整体，看看会发生什么。
先确定一个整体，把它看作单位 1。分母表示平均分成的份数，分子表示取这样的几份。圆形的五分之二和长条的五分之二，形状不同，但都是各自整体的 25。试试把「取其中」拖到最大——取满了，正好是 1 个整体。
实验 A 只能在一个整体里取。把两个整体接起来继续取：取满 5 份是 55 ＝ 1，再多取 1 份就是 65，比 1 还大！
分子大于或等于分母的分数叫假分数；像 65 ＝ 115 这样带着整数部分的写法，叫带分数。分数完全可以大于 1。
先说生活话，再给准确定义——定义里的每个条件都不能少。
把一个整体平均分成几份，数一数取了几份——写下来的就是分数。
把单位「1」平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
其中，平均分成的份数叫分母，取的份数叫分子。关键词是「平均分」和「单位 1」。注意：「几份」可以取满一个整体，也可以超过一个整体，所以分数不一定小于 1。
· 单位「1」不一定是数字 1：可以是一块蛋糕、一段绳子、一群物体，也可以是一个计量单位（如 1 米）。先说清「整体是谁」，分数才有意义。
· 平均分是「部分与整体」这种意义里的必要条件：不平均分，每一份不一样大，就说不出是几分之几。
· 分数单位：把单位「1」平均分成若干份，表示其中一份的数就是分数单位。如 34 的分数单位是 14，它由 3 个 14 组成——分数就是这样「数」出来的。
· 分子小于分母的是真分数（小于 1）；分子大于或等于分母的是假分数（大于或等于 1）；假分数可以写成带分数，如 54 ＝ 114。
① 表示部分与整体：把一个整体平均分成 4 份，取其中 3 份，就是整体的 34。
② 表示除法的商：3 块饼平均分给 4 个人，每人得到 3 ÷ 4 ＝ 34（块）。
③ 表示两个量的比值：甲、乙两个量的比是 3∶4，甲与乙的比值是 3 ÷ 4 ＝ 34。
三者相连：分数可以表示部分与整体的关系，也可以表示除法的商，还可以表示两个量的比值。但要分清：比是两个量之间的关系，比值才是一个数——这个区别，等做到「比」那一站再深入拆。
分母不能为 0：因为分数可以表示除法的商，而除数不能为 0；从平均分看，也不能把一个整体平均分成 0 份。到了初中，这里的 a、b 可以是整数——正分数、负分数都包含在有理数里。
先选一个分数，再切换六种表征——换成哪种样子，它们始终指向同一个数。能在这些样子之间互相翻译，才算真懂。
性质不是背的，是看出来的。
把每份再平均切细：份数变多，每份变小，取的份数也按同样的倍数变多——总量一点没变。
所以：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为 0 的数，分数的大小不变（除以时，这个数不能为 0）。为什么不变？每一份被进一步平均分成几份，原来取 1 份、现在取几份，实际取到的总量没有变。约分和通分，靠的都是这条性质。
先看最特殊的一组——分子都是 1 的单位分数：同一个整体，平均分成的份数越多，每一份越小。点一点比较：
注意条件：同一个整体、分子相同。这条规律不能推广成「分母越大，分数越小」——反例：34 的分母比 12 大，可是 34 反而更大，因为它取了 3 份。
· 约分：分子、分母同时除以同一个不为 0 的数，把分数化简，如 610 ＝ 35。
· 通分：把几个分数化成分母相同的分数，如 12 和 13 化成 36 和 26——为了比较大小、做加减法（第 6 层细讲）。
· 比较大小：同分母比分子；同分子比分母（分母大的反而小）；分母分子都不同，先通分，或者都放到数轴上看位置。
计算规则从哪里来？统一的看法：先提出问题，自己先猜一猜，再看模型、一步步推导，最后落到表达式。每条规则都点开「为什么」看。小学先理解意义，初中再看这些法则为什么对所有分数都成立。
判断下面每句话对不对。定义准不准，就看边界划得清不清。
把 0 到 1 平均分成 4 份，再接着往右数：第 5 份落在 1 和 2 之间，就是 54 ＝ 114。假分数在数轴上有自己准确的位置。
这五处是分数最常见的「坑」。先看错误写法，想一想错在哪，再点开看。
分数不是一个孤岛。点图谱里的任意一个概念，看它和分数是什么关系。
换一个情境，还认得它吗？
点一个层次，对照看看：这些事你都能做到吗？
5 道题，分别检验讲、画、辨、推、用五种能力。答对 4 道以上，说明你已经初步掌握分数的核心概念；若有错题，点反馈里的按钮，回到对应那一层重新探索。
你已经初步掌握分数的核心概念了！
能讲清、能画出、能辨对错、能推出规则、能换个情境用——理解就是这样一步步变深的。